Ordre 1 - Équation différentielle

Reprenons l'étude d'une transformation chimique modélisée par une réaction d’équation : `"aA(aq)"+"bB(aq)" rightarrow "cC(aq)"+"dD(aq)"`.

Par définition, si le volume `V` du milieu réactionnel est constant, la vitesse volumique de disparition du réactif `"B"` à un instant `t` s'écrit : \(v_\text {d,A}(t)=-\frac{\text d[\text A](t)}{\text dt}=-\frac{1}{V}\times \frac{\text dn_\text A(t)}{\text dt}\).

Supposons que l'évolution de la concentration de l'espèce `"A"` suit une loi de vitesse d’ordre 1 par rapport au réactif `"A"`, on a alors : \(v_\text {d,A}(t)=\text{k}\times \text [\text A](t)\) avec \(k\) la constante de vitesse de la réaction.

En égalisant les deux expressions de la vitesse volumique de disparition de `"A"`, il vient : \(-\frac{\text d[\text A](t)}{\text dt}=\text{k}\times \text [\text A](t)\).

On obtient alors l'équation différentielle suivante : \(\frac{\text d[\text A](t)}{\text dt}+\text{k}\times \text [\text A](t)=0\).

L'évolution des concentrations des espèces impliquées dans une transformation dont les évolutions des vitesses de formation / de disparition suivent des lois d'ordre 1 est régie par une équation différentielle d'ordre 1 !

Or, les solutions de ces équations différentielles sont de la forme `[A](t)=[A]_0timese^{-ktimest}`. La présence de la fonction exponentielle est bien cohérente avec l'évolution graphique précédemment observée.